本文来总结《电能源学》中的电势的两种多级张开以及电势的球谐函数张开的关联实质 ， 就当温习一波了 .

1. 多元函数的Taylor张开

 多极张开的表面基础其实即是性质充分邃密的函数的Taylor张开， 一维的Taylor张开是咱们熟知的:

不外在电能源学当中， 咱们际遇的主如果标量值多元函数或者矢量值多元函数以致于张量值多元函数. 这里咱们惩处的是电势的多极张开， 因此只需要辩论第一种情况即可.

 咱们熟知的照旧一元函数的Talor级数， 因此最当然的见识照旧用一元函数去商榷多元函数. 是以咱们但愿找到一个一元函数， 使得在某种条款下给出的成果即是， 况且咱们但愿取得的是函数在点的一个邻域内任性点处的值， 诚然咱们已知的是函数在处的性质. 这就要用到一个圭臬的时刻了: 老师和的凸组合， 这个组合随机在处给出， 而在处给出， 表征的其实是和这两点所连直线， 如果， 则即是这两点所成线段(如果咱们登第的是一个球形邻域， 则球内任性少量与球心的连线上的点势必在邻域内). 咱们构造扶持函数如下:

于是

雅致咱们已知的是在处的性质， 因此咱们应该将在处进行张开， 即

然后按照上头提到的， ， 于是

于是咱们只要打算的各阶导数即可. 刻下雅致到咱们有重量张开式

其中是场地的单元矢量. 令， 则

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刻下， 进而

雅致到依旧是的函数， 于是咱们接下来取得

依此类推， 最终取得

将上头的式子重新改写一下， 令， 然后引入标志

则有

接下来在上式双方咱们令， 此时

这是因为偏微分是对函数体式求的微分， 因此咱们不错变更偏微分的求导对象， 然后保证变更前后的点一致即可， 变更前是， 即， 这即是. 总而言之， 咱们不错取得多元函数的Taylor张开式为

另外， 咱们还不错雅致到底下这个恒等式:

这是因为左边对的整个组合体式乞降的时辰势必会出现重迭项， 比如说且函数为元函数时就有， ， 和四种可能， 而中间两种因为函数性质邃密(至少一语气)， 因此相当， 这就给出一个整个， 它其实即是二项式张开的成果. 其他情况依此类推.

 接下来雅致到

因此咱们还不错将多元函数的Taylor张开写成

迷水商城2. 电势的多极张开

  尽人皆知， 单个电荷在空间中处的电势为

其中是电荷所在的空间位置， 即源点， 而称作场点. 刻下假定空间中电荷散布不是聚积在少量， 而是迷漫散布， 呈一定的电荷密度， 则咱们老是不错在源点近邻登第一小块区域， 这块区域的电荷量为， 它产生的电势为

然后左证电势叠加旨趣， 总的电势即是上式的积分:

这里的积分遍历有界说的地方， 或者说. 刻下老师函数

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令， 然后对

进行张开， 咱们取得

刻下取， 于是， 最终咱们就有

刻下将这个抒发式代入到前边电势的积分抒发式当中， 就有

其中

刻下雅致积分是对进行的， 因此不错将所关联于的项残忍到积分外边去， 这就不错在级张开式

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这个抒发式中提真金不怕火出这么的一项:

辩论到数学中将形如

称作在处的阶矩， 上头提真金不怕火出的抒发式就暗示一种电矩. 比如说电零阶距即是

暗示系统的总电荷， 由此不错看到电势的零级张开即为

这标明零级张开的物理意旨是将迷漫在空间的电荷聚合到原点， 老师其四肢点电荷产生的电势.

 电二阶矩左证上头的写法就应该是

为了看出其物理含义， 咱们简化一下问题， 假定体系是电中性的， 换言之， 然而咱们老是不错老师

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这三个区域各自的积分红果(诚然， 咱们但愿这三个区域王人是可测的， 这要求的性质实足邃密， 比如说是可测函数)， 左证界说， 上的积分恒等于零. 而期骗积分中值定理， 存在使得

因为总电荷， 因此上头临的积分大小相当， 仅仅标志违反. 咱们令上的积分红果为， 则上式最终给出的成果即是， 从而该体系的电二阶矩为

记， 这暗示一个由负电荷指向正电荷的场地矢量. 此时， 这恰是电磁学中斗争到的电偶极矩， 换言之， 上头界说的电二阶矩其实即是电偶极矩. 如果将等量异号的一双电荷称作电偶极子， 则上头的打算标明一级张开的物理意旨是将带电体系剖析出一个正电中心和一个负电中心， 老师这对电偶极子产生的电势. 然而值得指出的是， 惟一体系为电中性的时辰这个讲明才是对的， 当体系不具备电中性的时辰， 咱们令， 其中被界说为在上的积分， 然后

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这里是电荷量实足值大的那方相较于多出来部分(带标志)， 的正负号取决于对应的标志. 这个成果标明如果带电体系不是电中性的时辰电二阶矩就会多出一项， 这项会和坐标原点的登第关联. 然而风俗上咱们照旧将此时的称作电偶极矩， 尽管它没法完全匹配电偶极子的这个图像， 因为老是有些电荷没法匹配上.

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 电二阶距从界说来看是一个型张量， 它的重量为

它的物理意旨咱们不错这么进行聚合， 将上式改写为

这个改写在数学上有很大问题， 然而具备启发性， 因为括号内部的那一项不错聚合为这个场地的某个偶极子的电偶极矩， 然后咱们将一双电偶极子绑定在一齐， 老师了不同的电偶极子之间的偶极作用， 于是咱们就将其称作电四极矩， 即偶极子的偶极矩. 两对偶极子需要四个电荷， 这四个电荷就组成了电四极子. 依此类推， 电三阶矩即是一双电四极子的偶极矩， 需要八个电荷， 组成电八极子， 对应电八极矩. 更一般的， 电阶矩即是一双电极子产生的偶极矩， 即电极距.  电极距是一个型张量.

 总而言之， 咱们取得下述论断:

电势的多极张开中， 第级张开暗示电极子对应的电极距产生的电势. 多极张开其实即是按照电荷对电势孝敬进行的剖析.

 一般而言， 物理上电四极子就还是不错给出充分好的近似了， 因此很少会用到更高等的近似(至少教科书上不会).

 容易看到， 当体系内电荷散布对于原点是对称的时辰， 正电中心和负电中心王人会聚积于原点， 从而不产生电偶极矩， 因此电偶极矩是电荷散布偏离原点对称性的成果. 近似地， 如果体系内电荷散布是球对称的， 那么在的抒发式中咱们只需雅致到被积函数对各自目的是奇函数， 于是积分是零. 这标明电四极矩是电荷散布偏离球对称性的成果.

 除此除外， 还有少量需要指出的是在打算积分

的时辰， 咱们粗略应该对整个这个词被积函数进行张开， 然而上头咱们却仅仅对进行了张开， 这粗略是因为并不是一个执行上容易测量的东西， 是以它的各阶导数也很不好惩处. 如果仅仅对张开， 从上头就能看到， 咱们会将电荷散布封装到一个整个当中， 于是不错通过执行取得的电势对于进行拟合， 从而取得这些整个， 这不会波及不好测量的细节.

3. 电四极矩的性质以及重界说

 当先从界说启航， 不错取得电四极矩张量是一个对称张量， 即.  接下来咱们对其进行重界说来让其性质更顺眼少量. 辩论问题的起点在于咱们不但愿发生变化， 换言之， 咱们但愿

是不变的， 其中

咱们老师问题的起点是一个恒等变换: 给一个式子加上零成果不变. 而零在那里呢? 当先雅致到恒等式

这里是一个标量值函数而是一个矢量值函数. 另外是另一个论断:

这是因为

于是.

然后咱们用上头的恒等式来老师这个式子:

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刻下代入， 并雅致到

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于是咱们最终看到

或者写成

这么一来咱们不错在中加入这么一个恒为零的项. 这个式子和的抒发式还是独特相似了， 咱们给加上上式的倍数不会编削蓝本的电势的成果. 刻下雅致一下， 上头这个式子其实最终取得的即是这个张量算子的迹， 这教导咱们老师的迹， 而

咱们不难雅致到， 如果给上头的张开式乘以一个加到蓝本的抒发式中， 就能取得.

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不外辩论到的迹为， 更好的作念法是将其归一化一下酿成， 即

这就引入了电四极矩的圭臬界说:

在这个界说下， 咱们自然地取得

即是一个对称无迹张量， 这也意味着惟一5个放心重量(因为对称性有六个放心重量， 无迹条款又抛弃一个解放度， 最终剩下五个).

 从原始界说到惯例界说的历程一般教科书是略过的， 其实这里不错看到， 出刻下电四极矩中的阿谁整个其实即是为了保证最终的成果是零迹的， 从而在不失掉信息(电势)的条款下给出最多的对称性.

4. 电势的球谐函数张开

 在第二节中先容的是电势通过笛卡尔坐标进行张开， 然而咱们表面上的张开形式不啻这一种， 球坐标系亦然常用的坐标系之一. 因此， 咱们还有必要商榷一下球坐标系下的多极张开体式. 无用置疑， 这会和球谐函数关联. 尽人皆知， 电势知足Laplace方程:

这个方程一朝出刻下球坐标系下就少不了球谐函数登场. 这里也顺带温习一下数学物理方程. 当先写出Laplace算子的抒发式:

然后设， 代入上式取得

然后等式双方同期乘以， 取得

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刻下分理出第一个变量， 上式第一项仅仅的函数， 而剩下两项不含， 因此移项后相当意味着等于吞并个数， 即

以及

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第一个式子张开后即为

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令， 则， 进而

将其代入前边的式子， 取得

这是一个二阶常整个微分方程， 它的通解为

代入， 即有

这里是特征根， 知足和. 于是不错取， 此时， ， 于是

在的假定下， 蓝本的角向方程写成

刻下双方同期乘以取得

相同的根由， 等式双方要想建树， 就必须等于吞并个常数， 故有

它的解为. 最终剩下对于的方程

令， 则

于是上头的方程酿成

期骗恒等式， 上式酿成

这是连带勒让德方程， 它的解是勒让德多项式， 于是取得的解为

最终取得蓝本方程的通解为

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这里是张开整个. 接下来取归一化球谐函数

则上头电势的通解不错写成

这里整个进行了重新界说. 如果要求知足一定的范围条款， 比如， 那么电势就要写成

这里又一次重新设定了整个， 目的是和前边第二节的成果进行比照.  近似地， 如果， 那么电势的体式应该为

这里咱们只情切第一种体式， 即无限辽阔趋于零范围下的成果， 这个时辰咱们看到项的整个为

而在第二节中咱们看到多极张开后成果是的幂级数， 且对应的即是电极子， 比如说时是电单极子， 时是电偶极子， 时是电四极子. 对应一下咱们就能看到， 项对应的其实即是电极子. 况且期骗球谐函数咱们能很容易聚合电多极子的图像:

图片

球谐函数图像

比如的单极子即是一个电荷对称散布的球， 的偶极子是正负电荷中心不重合导致的， 的电四极子即是两个等量异号偶极子， blablabla

 不外按照上述念念路取得的电势多极张开的图像莫得笛卡儿坐标系下的图像清爽， 二者相比咱们才能相比明晰地看出张开项的物理意旨.  除了这种相比形式除外， 咱们依旧不错从

入部下手进行打算. 此时咱们照旧对

进行张开. 不外此时是对它按照球谐函数进行张开， 这需要用到球谐函数的一个性质:

定理: 设有两个位置矢量和， 它们的球坐标鉴别为和， 它们之间的夹角为， 则

其中， 这不错由得出. 是连带勒让德多项式中时的成果.

另外需要用到的一个畸形性质， 它是轴对称的， 不错用勒让德多项式进行张开:

然后代入上头定理的成果， 取得

然后代入电势叠加抒发式中并设， 取得

这里的整个称作多极矩， 对于给定的， 有种采取， 它其实就对应了第二节中给出的极子的放心重量， 不外两个放心重量之间不是径直相当的， 而是以某种组合的体式给出. 最主要的是是不错取复值的， 而电极距张量为实张量.

5. 参考贵府

(1) 电能源学， by 郭硕鸿

(2) 经典电能源学， by John David Jackson

(3) 电能源学导论 ， by David J.Grimths

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